Question

如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线，交于CA的延长线于点E，∠EBC=2∠C．
（1）求证：AB=AC；
（2）当

AB

BC

=

5

4

时，①求tan∠ABE的值；②如果AE=

20

11

，求AC的值．

Answer 1

分析：（1）BE切⊙O于点B，根据弦切角定理得到∠ABE=∠C，把求证AB=AC的问题转化为证明∠ABC=∠C的问题．
（2）①连接AO，交BC于点F，tan∠ABE=tan∠ABF=

AF

BF

，转化为求AF的问题．
②在△EBA和△ECB中，∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，得到△EBA∽△ECB，再由切割线定理，得EB²=EA×EC=EA（EA+AC），就可以求出AC的长．

解答：（1）证明：∵BE切⊙O于点B，
∴∠ABE=∠C．
∵∠EBC=2∠C，
即∠ABE+∠ABC=2∠C．
∴∠ABC=∠C．
∴AB=AC．

（2）解：①如图，连接AO，交BC于点F
∵AB=AC，∴

AB

=

AC

；
∴AO⊥BC，且BF=FC．
∵

AB

BC

=

5

4

∴

AB

2BF

=

5

4

∴

AB

BF

=

5

2

；
设AB=

5

m，BF=2m，
由勾股定理，得AF=

AB2-BF2

=

5m2-4m2

=m；
∴tan∠ABE=tan∠ABF=

AF

BF

=

m

2m

=

1

2

．
②在△EBA和△ECB中，
∵∠E=∠E，∠EBA=∠ECB，∴△EBA∽△ECB，
∴

EA

EB

=

AB

BC

；
∵

AB

BC

=

5

4

，
∴EB=

4

5

EA（※）；
由切割线定理，得EB²=EA×EC=EA（EA+AC）；
将（※）式代入上式，得

16

5

EA²=EA（EA+AC）；
∵EA≠0，
∴AC=

11

5

EA=

11

5

×

20

11

=4．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等，以及切割线定理．