Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD是什么四边形，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵AF∥BC，∴∠EAF=∠EDC，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△EAF和△EDC中，∵∠EAF=∠EDC，AE=DE，∠AEF=∠DEC，∴△EAF≌△EDC（ASA），∴DC=AF，又∵AF=BD，∴BD=DC，∴D是BC的中点；

（2）矩形，理由是：

∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形

∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，

∴四边形AFBD是矩形．

【解析】

试题分析：（1）利用△AEF≌△DEC来证；

（2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形AFBD是平行四边形，进而得出四边形AFBD是矩形．

试题解析：（1）∵AF∥BC，∴∠EAF=∠EDC，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△EAF和△EDC中，∵∠EAF=∠EDC，AE=DE，∠AEF=∠DEC，∴△EAF≌△EDC（ASA），∴DC=AF，又∵AF=BD，∴BD=DC，∴D是BC的中点；

（2）四边形AFBD是矩形．理由是：

∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形

∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，

∴四边形AFBD是矩形．

【难度】一般