Question

15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD．将过D点的双曲线y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＜0）沿y轴对折，得到双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0），将正方形ABCD沿x轴正方向向右平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）上，则a的值是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 作DE⊥x轴于E，作CF⊥y轴于F，先证明△ADE≌△BAO，得出DE=AO=1，AE=BO=3，同理可证△BCF≌△BAO，得出BF=AO=1，CF=BO=3，求出点D、点C的坐标，再求出双曲线的解析式，求出M的坐标，根据双曲线的对称性得出N的坐标，得出FN=FM，求出CN，即可得出a的值．

解答 解：作DE⊥x轴于E，作CF⊥y轴于F，交双曲线y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＜0）于M，交双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）于N，如图所示：
则∠DEA=∠CFB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，当y=0时，x=-1；
当x=0时，y=3，
∴AO=1，BO=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△ADE和△BAO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠AOB=90°}&{\;}\\{∠2=∠3}&{\;}\\{AD=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAO（AAS），
同理：△BCF≌△BAO，
∴DE=AO=1，AE=BO=3，BF=AO=1，CF=BO=3，
∴OE=1+3=4，OF=1+3=4，
∴D的坐标为：（-4，1），C的坐标为：（-3，4），
把D（-4，1）代入y=$\frac{{k}_{1}}{x}$得：k₁=-4，
∴y=-$\frac{4}{x}$，
当y=4时，x=-1，
∴M（-1，4），
∵双曲线y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＜0）和双曲线y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）关于y轴对称，
∴N和M关于y轴对称，
∴N（1，4），
∴FN=FM=1，
∴a=CN=3+1=4；
故选：B．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数解析式的求法、对称的性质等知识；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等和确定反比例函数解析式是解决问题的关键．