Question

12．如图，以平行四边形ABCD的边分别向外作等边三角形ADE和BCF
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）当以平行四边形ABCD的边分别向外作以AD、BC为底的等腰三角形时，上述结论是否仍然成立，为什么？
（3）结合（1）（2）提出一个新的问题使四边形DEBF为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的判定方法：两组对边相等的四边形是平行四边形即可证明四边形DEBF是平行四边形；
（2）利用（1）中所求，结合无法得出△EAB≌△DCF，故无法得出BE=FD，进而得出结论；
（3）利用（1）中所求，结合等腰直角三角形的性质求出即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠DCB，
∵以AD、BC为边分别向外作等边△ADE和等边△BCF，
∴AD=DE=AE，BF=BC=FC，
∴AE=CF，
∵∠EAB=∠DAB+∠DAE，∠DCF=∠DCB+∠BCF，
∴∠EAB=∠DCF，
在△EAB和△DCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAB=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△DCF（SAS），
∴BE=FD，
∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）解：当以平行四边形ABCD的边分别向外作以AD、BC为底的等腰三角形时，上述结论不成立，
∵等腰三角形的腰长不确定，则无法得出△EAB≌△DCF，故无法得出BE=FD，则无法得出四边形DEBF是平行四边形；

（3）解：当以平行四边形ABCD的边分别向外作以AD、BC为斜边的等腰直角三角形时，四边形DEBF为平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠DCB，
∵以AD、BC为斜边分别向外作等腰直角三角形ADE和等腰直角三角形BCF，
∴DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，BF=FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∴AE=CF，
∵∠EAB=∠DAB+∠DAE，∠DCF=∠DCB+∠BCF，
∴∠EAB=∠DCF，
在△EAB和△DCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAB=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△DCF（SAS），
∴BE=FD，
∴四边形DEBF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法，并且灵活运用判定方法．