题目内容
如图（1），在平面直角坐标系中，Rt△ABC的AC边与x轴重合，且点A在原点，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=2，又一直径为2的⊙D与x轴切于点E（1，0）；（1）若Rt△ABC沿x轴正方向移动，当斜边AB与⊙D相切时，试写出此时点A的坐标；
（2）当Rt△ABC的边BC移动到与y轴重合时，则把Rt△ACB绕原点O按逆时针方向旋转，使斜边AB恰好经过点F（0，2），得Rt△A′B′O，AB分别与A′O、A′B′相交于M、N，如图（2）所示．
①求旋转角∠AOA′的度数；
②求四边形FOMN的面积．（结果保留根号）
分析：（1）分情况考虑：第一次和圆相切时；第二次和圆相切时．应连接圆心和切点，构造三角形求解；
（2）①容易判断出△A′OF是等边三角形，那么∠AOA'=30°；
②利用阴影面积=S△ACB-S△ACM-S△BNF，求出即可．
（2）①容易判断出△A′OF是等边三角形，那么∠AOA'=30°；
②利用阴影面积=S△ACB-S△ACM-S△BNF，求出即可．
解答：解：（1）
当在左边相切时，∠OA′G=∠COB=60°，
∴∠DA'G=∠DA'E=60°，
∴A'E=
，此时点A坐标为（1-
，0），
同理，当在右边相切时，A''E=
，此时点A''的坐标为（1+
，0）．
综上可得A（1-
，0）或A（1+
，0）；
（2）①∵Rt△ACB旋转得Rt△A′B′O，
∴Rt△ACB≌Rt△A′B′O．
∴∠A=∠A′=60°，AO=A′O．
∵OF=OA=2，
∴△A′OF是等边三角形．
∴∠A′OF=60°．
∴∠AOA′=30°．
②
∵AB=4，CF=2，∠A'OB'=90，
∴F为A'B'中点，∴CF=A'F，∴∠FOA'=∠BAC=60，
∴∠A'OA=30，∴∠AMO=90，
∴AC=2AM，CM=
AM，∴AM=1，CM=
，
∴S△ACM=
，
∵∠BFN=180°-60°=120°，而∠B=90°-60°=30°，
∴BF=FN 而BF=2
-2，
那么BF边上的高=FN×
=3-
，
S△BFN=
（2
-2）（3-
）=4
-6，
∴阴影面积=S△ACB-S△ACM-S△BNF=2
-
-4
+6=6-
．
∴四边形FOMN的面积是（6-
）平方单位．
当在左边相切时，∠OA′G=∠COB=60°，
∴∠DA'G=∠DA'E=60°，
∴A'E=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
同理，当在右边相切时，A''E=
| 3 |
| 3 |
综上可得A（1-
| ||
| 3 |
| 3 |
（2）①∵Rt△ACB旋转得Rt△A′B′O，
∴Rt△ACB≌Rt△A′B′O．
∴∠A=∠A′=60°，AO=A′O．
∵OF=OA=2，
∴△A′OF是等边三角形．
∴∠A′OF=60°．
∴∠AOA′=30°．
②
∵AB=4，CF=2，∠A'OB'=90，
∴F为A'B'中点，∴CF=A'F，∴∠FOA'=∠BAC=60，
∴∠A'OA=30，∴∠AMO=90，
∴AC=2AM，CM=
| 3 |
| 3 |
∴S△ACM=
| ||
| 2 |
∵∠BFN=180°-60°=120°，而∠B=90°-60°=30°，
∴BF=FN 而BF=2
| 3 |
那么BF边上的高=FN×
| ||
| 2 |
| 3 |
S△BFN=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴阴影面积=S△ACB-S△ACM-S△BNF=2
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
5
| ||
| 2 |
∴四边形FOMN的面积是（6-
| 5 |
| 2 |
| 3 |
点评：注意分不同的情况考虑问题；判断旋转角，注意特殊角的应用是解题的关键．
练习册系列答案
名校通行证有效作业系列答案
相关题目
的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计），以M点为顶点，抛物线对称轴为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系．
水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．
