Question

暑假期间，北关中学对网球场进行了翻修，在水平地面点A处新增一网球发射器向空中发射网球，网球飞行线路是一条抛物线（如图所示），在地面上落点为B．有同学在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内，已知AB=4m，AC=3m，网球飞行最大高度OM=5m，圆柱形桶的直径为0.5m，高为0.3m（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计），以M点为顶点，抛物线对称轴为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）请求出抛物线的解析式；
（2）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
（3）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？

Answer 1

分析：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，有函数图象可设抛物线的解析式为y=ax²+k，把M（0，5），B（2，0）代入，求出a，c的值即可；
（2）以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式；
（3）由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定m的值的范围．

解答：解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），
M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（ 1.5，0）
设抛物线的解析式为y=ax²+k，
抛物线过点M和点B，
则k=5，a=-

5

4

．
∴抛物线解析式为：y=-

5

4

x²+5；

（2）∵当x=1时，y=

15

4

；
当x=

3

2

时，y=

35

16

．
∴P（1，

15

4

），Q（

3

2

，

35

16

）在抛物线上；
当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高=

3

10

×5=

3

2

，
∵

3

2

＜

15

4

且

3

2

＜

35

16

，
∴网球不能落入桶内；

（3）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意得：

35

16

≤

3

10

m≤

15

4

，
解得：7

7

24

≤m≤12

1

2

；
∵m为整数，
∴m的值为8，9，10，11，12．
∴当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内．

点评：此题考查了抛物线的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础．