Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，E、F分别为BC、AB上的点，AE⊥CF于点G，交CD于点H.

（1）求证：AH=CF；

（2）若CE=BF，求证：BE=2DH.

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：（1）要证明AH=CF，只需要证明△ADH≌△CDF即可；（2）因为点D是AB的中点，所以要证明BE=2DH成立，只需取AE的中点M,连接DM,然后证明中位线DM=DH即可.

试题解析：证明:（1）∵∠DCF+∠GFD=90°，∠DAH+∠GFD=90°，∴∠DCF=∠DAH

在△ADH和△CDF中

∴△ADH≌△CDF

∴AH=CF （5分）

（2）取AE的中点M,连接DM,

∵AD=DB,

∴BE=2DM,且DM∥BC

∴∠DMH=∠CEH。

∵△ADH≌△CDF，∴DH=DF,

又∵CD=DB，∴CH=BF=CE，∴∠CHE=∠CEH,

∴∠DMH=∠CEH=∠CHE=∠DHM

∴DM=DH，∴BE=2DM=2DH. （10分）

考点：1.全等三角形的判定与性质；2.三角形的中位线.