如图1.在矩形ABCD中.AB=3$\sqrt{3}$cm.AD=9cm.点O从A点出发沿AD以a cm/s的速度向点D移动.以O为圆心.2cm为半径作圆.交射线AD于M.同时点E从C点出发沿CD以$\sqrt{3}$cm/s的速度移向点D移动.过E作直线EF∥BD交BC于F.再把△CEF沿着动直线EF折叠.点C的对应点为点G.若在整过移动过程中△EFG的直角顶点G能与点M重� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图1，在矩形ABCD中，AB=3$\sqrt{3}$cm，AD=9cm，点O从A点出发沿AD以a cm/s的速度向点D移动，以O为圆心，2cm为半径作圆，交射线AD于M（点M在点O右侧），同时点E从C点出发沿CD以$\sqrt{3}$cm/s的速度移向点D移动，过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF折叠，点C的对应点为点G，若在整过移动过程中△EFG的直角顶点G能与点M重合，设运动时间为t（0＜t≤3）秒．

（1）求a的值；
（2）在运动过程中，
①当直线FG与⊙O相切时，求t的值；
②是否存在某一时刻t，使点G恰好落在⊙O上（异于点M）？若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．

分析（1）如图1中，当点G在AD上时，首先证明∠FEC=∠FEG=∠GED=60°，由EC=EG=$\sqrt{3}$t，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，可得$\sqrt{3}$t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=3$\sqrt{3}$，解方程即可；
（2）①如图2中，作GQ⊥AD于Q，GR⊥CD于R，QG的延长线交BC于P，FG的延长线交AD于T．想办法构建方程解决问题．同法在图3中，列出方程求出相切时的时间；
②如图5中，当点G在⊙O上时，易知TM是直径，根据OA+DT-OT=AB，可得2t+3t-3-2=9，解方程即可；

解答解：（1）如图1中，当点G在AD上时．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AB=3$\sqrt{3}$，AD=9，
∴tan∠BDA=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{3\sqrt{3}}{9}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ADB=30°，
∵BC∥AD，EF∥BD，
∴∠CEF=∠CBD=∠ADB=30°，
∴∠FEC=∠FEG=60°，
∴∠GED=60°，
∵CE=EG=$\sqrt{3}$t，
在Rt△GED中，DE=$\frac{1}{2}$EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴$\sqrt{3}$t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=3$\sqrt{3}$，
∴t=2，
∴CE=EG=2$\sqrt{3}$，DE=$\sqrt{3}$，DG=3，AG=6，
∵在整过移动过程中△EFG的直角顶点G能与点M重合，
∴2a+2=6，
∴a=2cm/s．

（2）①如图2中，作GQ⊥AD于Q，GR⊥CD于R，QG的延长线交BC于P，FG的延长线交AD于T．

由题意CE=EG=$\sqrt{3}$t，ER=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，QD=PC=RQ=$\frac{3}{2}$t，QG=DR=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=3$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t，
在Rt△GQT中，∵∠TGQ=30°，
∴QT=QG•tan30°=3-$\frac{3}{2}$t，
∴TD=$\frac{3}{2}$t-（3-$\frac{3}{2}$t）=3t-3，
如图3中，当⊙O与FG相切于点N时，易知OA=2t，OT=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，TD=3t-3，

则有2t+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+3t-3=9，
解得t=$\frac{36-4\sqrt{3}}{15}$．
如图4中，当⊙O再次与FG相切时．

由OA+DT-OT=AB，可得2t+3t-3-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=9，
解得t=$\frac{36+4\sqrt{3}}{15}$
综上所述，t=$\frac{36-4\sqrt{3}}{15}$s或$\frac{36+4\sqrt{3}}{15}$s时，直线FG与⊙O相切

②．如图5中，当点G在⊙O上时，

∵∠FGE=90°，
∴TM 直径，（T是直线FG由AD的交点，M是EG与AD的交点）
∴TM=4，OT=OM=2，
由OA+DT-OT=AB，可得2t+3t-3-2=9，
∴t=$\frac{14}{5}$s．
∴t=$\frac{14}{5}$s时．点G在⊙O上．