Question

20．如图，将矩形纸片ABCD裁剪出扇形ABE和⊙O，其中⊙O与$\widehat{BE}$，BC，CD都相切．若扇形ABE与⊙O恰好制作成一个圆锥，已知AB=8cm，则AD的长为10．

Answer 1

分析 首先求得弧AE的长，然后利用弧BE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE的长加上半径即为AD的长．

解答 解：∵AB=8，∠A=90°，
∴$\widehat{BE}$=$\frac{90π•8}{180}$=4π，
∴⊙O的半径为2，
设⊙O与BC、CD分别相切于F、H，
连接FO并延长交AD于G，则FG垂直于AD，OH垂直于CD，连接OA．
可得矩形ABFG、矩形CDGF、矩形OHDG和正方形OFCH，
∴FE⊥BC，
∴OE=8-2=6，OA=8+2=10，
在Rt△AOG中，AG=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴AE=8=AG，
∴点E与G重合，
又DE=CF=2，
∴AD=AE+DE=10，
故答案为10．

点评 本题考查切线的性质、圆锥的计算、弧长公式、相切两圆的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．