Question

如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD=7，∠ADC=∠CBA=90°，tanA=2，求CD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：如图，作辅助线；证明四边形CDFE为矩形，得到DC=EF（设为2λ），DF=CE；证明AF=λ，BC=2BE（设BE为μ）；证明AE=

5

λ，CE=

5

μ，运用AB=BC，AD=7，列出关于λ、μ的方程组，即可解决问题．

解答：解：过点C作CE⊥CD，交AB于点E；
过点E作EF⊥AD于点F；
则四边形CDFE为矩形，
∴DC=EF（设为2λ），CE∥DF，
DF=CE，∠CEF=90°；
∴∠A=∠CEB；
∵tanA=2，
∴

EF

AF

=

BC

BE

=2，
∴AF=λ，BC=2BE（设BE为μ）；
由勾股定理得：AE=

5

λ，CE=

5

μ，
∵AB=BC，AD=7，
∴

5 λ+μ=2μ λ+ 5 μ=7

，
解得：λ=

7

6

，
∴CD的长=

7

3

．

点评：该题主要考查了直角三角形的边角关系、勾股定理、矩形的判定及性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造矩形、直角三角形．