Question

8．如图梯形ABCD中，AD∥BC，F为AD的中点，连接BF并延长与CD的延长线交于点E，且∠ABE=∠ACE．
（1）写出图中三对相似三角形（不需要证明）．
（2）证明：$\frac{EF}{BE}$=$\frac{FG}{BG}$．
（3）若BG=2，EF=1，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定方法可知：△AFG∽△CBG，△EFD∽△EBC，△AGB∽△EGC，
（2）由△EFD∽△EBC，得$\frac{EF}{EB}$=$\frac{DF}{CB}$，由△AFG∽△CBG，得$\frac{AF}{BC}$=$\frac{FG}{GB}$，因为AF=DF，由此即可证明．
（3）利用（2）的结论，设FG=x，列出方程即可解决．

解答 （1）解：∵AF∥BC，
∴△AFG∽△CBG，
∵DF∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∵∠ABG=∠GCE，∠AGB=∠EGC，
∴△AGB∽△EGC，
∴△AFG∽△CBG，△EFD∽△EBC，△AGB∽△EGC，
（2）证明：由（1）可知：△EFD∽△EBC，
∴$\frac{EF}{EB}$=$\frac{DF}{CB}$，
∵△AFG∽△CBG，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{FG}{GB}$，
∵AF=DF，
∴$\frac{EF}{BE}$=$\frac{FG}{GB}$．
（3）解：设FG=x，∵$\frac{EF}{BE}$=$\frac{FG}{GB}$，EF=1，BG=2，
∴$\frac{1}{3+x}$=$\frac{x}{2}$，
∴x²+3x-2=0，
∴x=$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$或$\frac{-\sqrt{17}-3}{2}$（舍弃），
∴FG=$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，学会转化的思想，把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型．