Question

18．如图，已知点E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点，且AF=BE，AE与DF交于点G，试猜想AE与DF之间的大小关系和位置关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出AB=DA，∠B=∠DAF=90°，由SAS证明△ABE≌△DAF，得出AE=DF，∠BAE=∠ADF，再由角的互余关系证出∠AGD=90°即可．

解答 解：AE=DF，AE⊥DF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠B=∠DAF=90°，
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}&{\;}\\{∠B=∠DAF}&{\;}\\{BE=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴AE=DF，∠BAE=∠ADF，
∵∠DAG+∠BAE=90°，
∴∠DAG+∠ADF=90°，
∴∠AGD=90°，
∴AE⊥DF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．