Question

【题目】若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“友好代数式”．例如：关于的代数式，当时，代数式在时有最大值，最大值为1；在时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在（含端点）这个范围内，则称代数式是的“友好代数式”．

（1）若关于的代数式，当时，取得的最大值为________；最小值为________；代数式________（填“是”或“不是”）的“友好代数式”；

（2）以下关于的代数式，是的“友好代数式”的是________；

①；②；③；

（3）若关于的代数式是的“友好代数式”，则的值是________；

（4）若关于的代数式是的“友好代数式”，求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）3，0，不是 （2）② （3） （4）的最大值为4和最小值为0．

【解析】

（1）求出代数式的最大值和最小值，再根据友好代数式的定义进行判断即可；

（2）根据友好代数式的定义对各代数式进行求解即可；

（3）分三种情况进行求解：①；②；③，即可求出m的值；

（4）分三种情况进行求解：①；②；③，解得，即可求出的最大值和最小值．

（1）∵

∴当时，有最大值，最大值为3；当时，有最小值，最小值为0

∴，

故代数式不是的“友好代数式”．

（2）①∵当时，有最大值，最大值为3；当时，有最小值，最小值为-1，

∴，

∴不是的“友好代数式”．

②∵当时，有最大值，最大值为2；当时，有最小值，最小值为-2，

∴，

∴是的“友好代数式”．

③∵当时，有最大值，最大值为2；当时，有最小值，最小值为-4，

∴，

∴不是的“友好代数式”．

故是的“友好代数式”的是②．

（3）∵关于的代数式是的“友好代数式”

∴分以下三种情况进行讨论：

①

∴当时，有最大值，最大值为4；当时，有最小值，最小值为，

∴

∴不成立

②

∴，

∴

解得

∴当成立

③

∴当时，有最大值，最大值为；当时，有最小值，最小值为-4，

∵

∴不成立

故的值是．

（4）∵关于的代数式是的“友好代数式”

∴分以下三种情况进行讨论

①

当时，有最大值，最大值为；当时，有最小值，最小值为，

∴

解得

②

∵

∴时成立

③

当时，有最大值，最大值为；当时，有最小值，最小值为，

∴

无解

∴

∴的最大值为4和最小值为0．