Question

【题目】如图1，已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，D为顶点．

（1）求直线AC的解析式和顶点D的坐标；

（2）已知E（0， ），点P是直线AC下方的抛物线上一动点，作PR⊥AC于点R，当PR最大时，有一条长为的线段MN（点M在点N的左侧）在直线BE上移动，首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP，请求出四边形AMNP的周长最小时点N的坐标；

（3）如图2，过点D作DF∥y轴交直线AC于点F，连接AD，Q点是线段AD上一动点，将△DFQ沿直线FQ折叠至△D1FQ，是否存在点Q使得△D1FQ与△AFQ重叠部分的图形是直角三角形？若存在，请求出AQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，点D坐标（﹣1，﹣4）；（2）N（0， ）；（3）AQ的长为1+或或．

【解析】试题分析：（1）分别令x=0，y=0，可得A、B、C三点坐标，利用待定系数法设直线AC的解析式为y=kx+b，转化为解方程组即可．

（2）如图1中，设P（m，m2+2m-3），由题意，当PR最大时，△ACP的面积最大，即四边形APCO的面积最大，因为S四边形APCO=S△AOP+S△POC-S△AOC=×3×（-m2-2m+3）+×3×（-m）-×3×3=-m2-m=-（m+）2+，所以当m=-时，四边形APCO的面积最大，即PR最长，可得P（-，-），将点P沿BE方向平移个单位得到G（-，-），作点A关于直线BE的对称点K，连接GK交BE于M，此时四边形APNM的最长最小，想办法求出点M的坐标即可解决问题．

（3）分三种情形讨论即可①如图2中，当FD1⊥AD时，重叠部分是Rt△FKQ．②如图3中，当FQ⊥AD时，重叠部分是Rt△FQD1，③如图4中，当QD1⊥AC时，重叠部分是Rt△QMF．分别求出AQ即可．

试题解析：（1）对于抛物线y=x2+2x﹣3，令y=0，得x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或1，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

令x=0，得y=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∵抛物线y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4），

设直线AC的解析式为y=kx+b，则有，解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，点D坐标（﹣1，﹣4）．

（2）如图1中，设P（m，m2+2m﹣3），

由题意，当PR最大时，△ACP的面积最大，即四边形APCO的面积最大，

∵S四边形APCO=S△AOP+S△POC﹣S△AOC=×3×（-m2-2m+3）+×3×（-m）-×3×3=-m2-m=-（m+）2+，

∴当m=﹣时，四边形APCO的面积最大，即PR最长，

∴P（﹣，﹣），

将点P沿BE方向平移个单位得到G（﹣，﹣），作点A关于直线BE的对称点K，连接GK交BE于M，此时四边形APNM的最长最小，

∵直线BE的解析式为y=﹣x+，直线AK的解析式为y=2x+6，

由解得，

∴J（﹣， ），

∵AJ=JK，

∴k（﹣， ），

∴直线KG的解析式为y=x+，

由解得，

∴M（﹣2， ），将点M向下平移1个单位，向右平移2个单位得到N，

∴N（0， ）．

（3）存在．

①如图2中，当FD1⊥AD时，重叠部分是Rt△FKQ，作QM⊥DF于M．

由题意可知F（﹣1，﹣2），DF=2，AF=2，AC=3，AD=2

由△AKF∽△ACD，得，

∴

∴FK=，AK=，

∴DK=，设QK=QM=x，

在Rt△QMD中，x2+（2﹣）2=（﹣x）2，

∴x=1﹣，

∴AQ=AK+KQ=1+

②如图3中，当FQ⊥AD时，重叠部分是Rt△FQD1，此时AQ=．

③如图4中，当QD1⊥AC时，重叠部分是Rt△QMF．

设QM=QK=x，在Rt△AQM中，x2+（2﹣）2=（﹣x）2，

∴x=

∴AQ=AK﹣QK=﹣（）=．

综上所述，当△D1FQ与△AFQ重叠部分的图形是直角三角形时，AQ的长为1+或或．