Question

15．如图，在半径为r的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，CE⊥DA交DA的延长线与E，连接AC．
（1）若$\widehat{AD}$的长为$\frac{2}{9}$πr，求∠ACD的度数；
（2）若$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，tan∠DAB=3．CE+AE=3，求r的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据已知条件和圆的周长公式即可得到结论；
（2）连接BD，根据已知条件得到∠ADC=45°，根据等腰直角三角形的性质得到ED=CE，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）连接OD，
∵$\widehat{AD}$的长为$\frac{2}{9}$πr，⊙O的周长=2πr，
∴∠AOD=360°×$\frac{\frac{2}{9}πr}{2πr}$=40°；
∴∠ACD=20°．

（2）连接BD，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∵∠ADC=45°，
∵CE⊥DA，
∴∠AEC=90°，
∴DE=CE，
∵CE+AE=3，
∴设AE=x，CE=3-x，
∴AD=3-2x，
∴AC²=x²+（3-x）²，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AB²=2AC²=2[x²+（3-x）²]，
∵tan∠DAB=3，
∴BD=3AD，
∴AB²=AD²+BD²，
即2[x²+（3-x）²]=（3-2x）²+[3（3-2x）]²，
∴x=1，x=2（不合题意，舍去），
∴AB=$\sqrt{10}$，
∴r=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查了弧长的计算，勾股定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．