Question

10．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
（1）若AD=2，求AB；
（2）若AB+CD=2$\sqrt{3}$+2，求AB．

Answer 1

分析 （1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC-∠ADB=165°-105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；
（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．

解答 解：（1）过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，
∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，
∴∠ADC=360°-∠A-∠C-∠ABC=360°-45°-45°-105°=165°，
∴∠BDF=∠ADC-∠ADB=165°-105°=60°，
△ADE与△BCF为等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴AE=DE=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵∠ABC=105°，
∴∠ABD=105°-45°-30°=30°，
∴BE=$\frac{DE}{tan30°}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{6}$，
∴AB=$\sqrt{2}$$+\sqrt{6}$；

（2）设DE=x，则AE=x，BE=$\frac{x}{tan30°}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}x$，
∴BD=$\sqrt{{x}^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}}$=2x，
∵∠BDF=60°，
∴∠DBF=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}BD$=x，
∴BF=$\sqrt{B{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{（2x）^{2}-{x}^{2}}$=$\sqrt{3}x$，
∴CF=$\sqrt{3}x$，
∵AB=AE+BE=$x+\sqrt{3}x$，
CD=DF+CF=x$+\sqrt{3}x$，
AB+CD=2$\sqrt{3}$+2，
∴AB=$\sqrt{3}$+1

点评 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．