Question

8．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，BE=DF．
（1）求证：AE=AF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质可证明△ABE≌△ADF，可得AE=AF；
（2）首先证明四边形AEMF是平行四边形，再证明AE=AF即可；

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵BE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴AE=AF．

（2）四边形AEMF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°，
BC=DC（正方形邻边相等），
∵BE=DF，
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），
即CE=CF，
∴OE=OF，
∵OM=OA，
∴四边形AEMF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．

点评 本题考查正方形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．