Question

14．如图，已知抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点，且OC=3OA，对称轴x=1交抛物线于D点．
（1）求抛物线解析式；
（2）求证：△BCD为直角三角形；
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点M，过M作MN⊥x轴于N点，使△BMN与△BCD相似？若存在，请求出M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入可求得y=3，故此可知C（0，3），OC=3，OA=1，则点A的坐标为（-1，0），由点B与点A关于x=1对称可知B（3，0），将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式，从而求得a=-1，b=2；
（2）先利用配方法求出抛物线的顶点D的坐标，再利用两点间的距离公式得出CD²+BC²=BD²，由勾股定理的逆定理即可证明△BCD为直角三角形；
（3）由（2）知，CD=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$．设M（x，-x²+2x+3），则MN=-x²+2x+3，BN=3-x，由于∠MNB=∠BCD=90°，所以当△BMN与△BCD相似时，分两种情况：①△BMN∽△BDC；②△BMN∽△DBC．然后根据相似三角形的性质列出关于x的方程，从而求得点M的坐标．

解答 解：（1）∵将x=0代入y=ax²+bx+3，得y=3，
∴C（0，3）．
∵OC=3OA，
∴OA=1，
∴A（-1，0）．
∵点B与点A关于x=1对称，
∴B（3，0）．
将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴CD²=（1-0）²+（4-3）²=2，
 BC²=（3-0）²+（0-3）²=18，
BD²=（1-3）²+（4-0）²=20，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD为直角三角形；

（3）由（2）知，CD=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$．
设在x轴上方的抛物线上存在点M（x，-x²+2x+3），则-1＜x＜3，-x²+2x+3＞0，
∵MN⊥x轴于N点，
∴N（x，0），∠MNB=90°，
∴BN=3-x，MN=-x²+2x+3．
∵Rt△BCD中，∠BCD=90°，
∴∠MNB=∠BCD=90°，
∴当△BMN与△BCD相似时，分两种情况：
①如果△BMN∽△BDC，那么$\frac{MN}{CD}$=$\frac{BN}{BC}$，
即$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3-x}{3\sqrt{2}}$，
解得x₁=3，x₂=-$\frac{2}{3}$，
又∵-1＜x＜3，
∴x=-$\frac{2}{3}$，
∴-x²+2x+3=$\frac{11}{9}$，
∴M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）；
②如果△BMN∽△DBC，那么$\frac{MN}{BC}$=$\frac{BN}{CD}$，
即$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3-x}{\sqrt{2}}$，
解得x₁=2，x₂=3，
又∵-1＜x＜3，
∴x=2，
∴-x²+2x+3=3，
∴M（2，3）．
综上所述，M点坐标为（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）或（2，3）．

点评 本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理、相似三角形的性质等知识点，利用分类讨论、数形结合与方程思想是解题的关键．