Question

1．如图所示，以正方形ABCD的顶点A为圆心的弧恰好与对角线BD相切，以顶点B为圆心，正方形的边长为半径的弧，已知正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． π-2
• B． $\frac{π}{2}-1$
• C． $\frac{5π}{4}-1$
• D． $\frac{3π}{4}-1$

Answer 1

分析 连接AC交BD于O，由正方形的性质得出OA=OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，∠BAD=90°，AB=AD=2，∠BAO=∠ABF=45°，由勾股定理求出BD，得出OA=OB=$\sqrt{2}$，求出△AOB的面积、扇形AOE的面积、扇形ABF的面积，即可得出图中阴影部分的面积．

解答 解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，∠BAD=90°，AB=AD=2，∠BAO=∠ABF=45°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=$\sqrt{2}$，
∴△AOB的面积=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1，
∵以正方形ABCD的顶点A为圆心的弧恰好与对角线BD相切，AC⊥BD，
∴O为切点，
∵扇形AOE的面积=$\frac{45π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$=$\frac{π}{4}$，扇形ABF的面积=$\frac{45π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{π}{2}$，
∴图中阴影部分的面积=$\frac{π}{2}$-（1-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3π}{4}$-1；
故选：D．

点评 本题考查了切线的性质、正方形的性质、勾股定理、扇形面积的计算；熟练掌握切线的性质和正方形的性质，求出扇形的面积是解决问题的关键．