Question

13．如图：二次函数y=ax²+c（a＜0，c＞0）的图象C₁交
x轴于A、B两点，交y轴于D，将C₁沿某一直线方向
平移，平移后的抛物线C₂经过B点，且顶点落在直线
x=$\frac{4}{3}$$\sqrt{-\frac{c}{a}}$上．
（1）求B点坐标（用a、c表示）；
（2）求出C₂的解析式（用含a、c的式子表示）；
（3）点E是点D关于x轴的对称点，C₂的顶点为F，且∠DEF=45°，试求a、c应满足的数量关系式．

Answer 1

分析 （1）在y=ax²+c中令y=0，求x的值，可求得B点坐标；
（2）利用B、C的对称性，可求得C点坐标，利用两点式可求得C₂的解析式；
（3）先求得点F坐标，过F作FG⊥y轴于，由条件可得GE=GF，从而可得到关于a、c的数量关系式．

解答 解：
（1）y=ax²+c中令y=0，
可得ax²+c=0，解得x=±$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，
∵B点在y轴的右侧，
∴B点坐标为（$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，0）；
（2）∵点B、C关于直线x=$\frac{4}{3}$$\sqrt{-\frac{c}{a}}$上对称
∴C点坐标为（$\frac{5}{3}\sqrt{-\frac{c}{a}}$，0），
∴抛物线的解析式为y=a（x-$\sqrt{-\frac{c}{a}}$）（x-$\frac{5}{3}\sqrt{-\frac{c}{a}}$）；
（3）在y=a（x-$\sqrt{-\frac{c}{a}}$）（x-$\frac{5}{3}\sqrt{-\frac{c}{a}}$）中，
当x=$\frac{4}{3}$$\sqrt{-\frac{c}{a}}$时，可得y=$\frac{c}{9}$，
∵D、E关于x轴对称，
∴E点坐标为（0，-c），
∴OE=c，
∴GE=c+$\frac{c}{9}$，
过点F作FG⊥y轴于G，如图，则GF=$\frac{4}{3}$$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，
∵∠DEF=45°，
∴GE=GF，
∴$\frac{4}{3}$$\sqrt{-\frac{c}{a}}$=c+$\frac{c}{9}$，整理可得ac=-$\frac{36}{25}$

点评 本题为二次函数综合应用，主要涉及二次函数的对称性、解析式、等腰直角三角形的性质等知识点．在（1）中利用函数与方程的关系是解题的关键，在（2）中利用对称性求得C点坐标是解题的关键，在（3）中利用45°角得到GE=GF是解题的关键．本题知识点不多，但计算量较大，综合性较强，难度适中．