Question

【题目】己知：正方形．

如图，点、点分别在边和上，且．此时，线段、的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．

如图，等腰直角三角形绕直角顶点顺时针旋转，当时，连接、，此时中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

如图，等腰直角三角形绕直角顶点顺时针旋转，当时，连接、，猜想沟与满足什么数量关系时，直线垂直平分．请直接写出结论．

如图，等腰直角三角形绕直角顶点顺时针旋转，当时，连接、、、得到四边形，则顺次连接四边形各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．

Answer 1

【答案】且；详见解析；；正方形．

【解析】

（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠A=90°，然后求出BE=DF，BE⊥DF；
（2）根据旋转角求出∠BAE=∠DAF，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，延长DF交BE于O，求出∠ABE+∠BGO=90°，从而得到∠BOD=90°，根据垂直的定义得到BE⊥DF；
（3）连接BD，直线DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，解答出即可；
（4）如图4，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状

(1)在正方形ABCD中,AB=AD,，

∵AE=AF，

∴ABAE=ADAF，

即BE=DF，

∵

∴BE⊥DF，

故答案为BE=DF，BE⊥DF；

(2)成立；

理由：如图②，

∵△FAE是等腰直角三角形，

∴AE=AF，

在正方形ABCD中，AB=AD，

又∵∠BAE=∠DAF=α，

∴在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，

∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，

延长DF交BE于O，

∵,∠AGF=∠BGO(对顶角相等)，

∴

∴

∴BE⊥DF，

故BE=DF，BE⊥DF；

(3)如图③，

连接BD，

∵直线DF垂直平分BE，

∴AD+AE=BD,

∴

故答案为

(4)如图④，

连接BE、DF，

∵△FAE是等腰直角三角形，

∴AE=AF，

在正方形ABCD中，AB=AD，

又∵∠BAE=∠DAF=α，

∴在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，

∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，

设DF交BE于点P，

∵,∠DYA=∠BYP(对顶角相等)，

∴

∴BE⊥DF，

故BE=DF，BE⊥DF；

∴顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形.

故答案为:正方形.