Question

如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C₁处．
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB=4，BC=4，CC₁=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
（3）求点B₁到最短路径的距离．

Answer 1

分析：根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短．

解答：解：（1）如图，
木柜的表面展开图是矩形ABC'₁D₁或ACC₁A₁．
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC'₁或AC₁；（2分）


（2）蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC'₁D₁爬过的路径AC'₁的长是l1=

42+(4+5)2

=

97

．（3分）
蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB₁C₁D爬过的路径AC₁的长=

97

，

蚂蚁沿着木柜表面ACC₁A₁爬过的路径AC₁的长是l2=

(4+4)2+52

=

89

．（4分）
l₁＞l₂，故最短路径的长是l2=

89

．（5分）

（3）作B₁E⊥AC₁于E，
∵∠C₁EB₁=∠C₁A₁A，∠A₁C₁A是公共角，
∴△AA₁C₁∽△B₁EC₁，
即

B1E

AA1

=

B1C1

AC1

，
则B1E=

B1C1

AC1

•AA1=

4

89

•5=

20

89

89

为所求．（8分）
注：作垂线、相似（或等面积）、计算各（1分）．

点评：本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．