题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系
中，一次函数
的图象过点A(4,1)与正比例函数
(
)的图象相交于点B(
,3)，与
轴相交于点C.
（1）求一次函数和正比例函数的表达式;
（2）若点D是点C关于
轴的对称点，且过点D的直线DE∥AC交BO于E，求点E的坐标；
（3）在坐标轴上是否存在一点
，使
.若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由.
【答案】（1）一次函数表达式为：
；正比例函数的表达式为：
；（2）E（－2，－3）；（3）P点坐标为（
，0）或（
，0）或（0，2）或（0，－2）.
【解析】
（1）将点A坐标代入
可求出一次函数解析式，然后可求点B坐标，将点B坐标代入
即可求出正比例函数的解析式；
（2）首先求出点D坐标，根据DE∥AC设直线DE解析式为：
，代入点D坐标即可求出直线DE解析式，联立直线DE解析式和正比例函数解析式即可求出点E的坐标；
（3）首先求出△ABO的面积，然后分点P在x轴和点P在y轴两种情况讨论，设出点P坐标，根据
列出方程求解即可.
解：（1）将点A(4，1)代入得
，
解得：b=5，
∴一次函数解析式为：，
当y=3时，即
，
解得：
，
∴B(2，3)，
将B(2，3)代入得：
，
解得：
，
∴正比例函数的表达式为：；
（2）∵一次函数解析式为：，
∴C（0，5），
∴D（0，－5），
∵DE∥AC，
∴设直线DE解析式为：，
将点D代入得：
，
∴直线DE解析式为：
，
联立
，解得：
，
∴E（－2，－3）；
（3）设直线与x轴交于点F，
令y=0，解得：x=5，
∴F（5，0），
∵A（4，1），B（2，3），
∴
，
当点P在x轴上时，设P点坐标为（m，0），
由题意得：
，
解得：
，
∴P点坐标为（，0）或（，0）；
当点P在y轴上时，设P点坐标为（0，n），
由题意得：
，
解得：
，
∴P点坐标为（0，2）或（0，－2），
综上所示：P点坐标为（，0）或（，0）或（0，2）或（0，－2）.
