Question

【题目】如图，在中，为边上一点，连接，以为邻边作与相交于点，且满足．

（1）求证：四边形为矩形；

（2）若，连接，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)利用等腰三角形的性质可知∠CAB=∠CBA，再由三角形内角和定理即可证出∠OAE=∠OEA，证得OA=OE，AB=DE，利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定；

(2)在和中，利用勾股定理求得CD和OB的长，利用等腰三角形三线合一的性质证得∠COB=90，再根据勾股定理即可求得CO的长．

(1)∵四边形ADBE为平行四边形，

∴AE∥BD，AB=2OA，DE=2OE，

∴∠ABC=∠OAE，

∵∠C=∠AOE，

∴∠CAB=∠OEA，

∵AB=BC，

∴∠CAB=∠CBA，

∴∠OAE=∠OEA，
∴OA=OE，

∴AB=DE，

∴平行四边形ADBE是矩形；

(2)∵四边形ADBE是矩形，

∴∠ADB=∠ADC=90，BD=AE=2，

在中，AD=4，

设CD=，则AC=BC=CD+BD=，

∵，即，

解得：，即CD=，

在中，AD=4，BD=AE=2，

∴，

∴OB=AB=，

∵AC=BC，OA=OB，

∴CO⊥AB，

∴∠COB=90，

在中，BC= CD+BD=3+2=5，BO=，

∴．