Question

10．如图，两块相同的三角形完全重合在一起，∠A=30°，AC=12，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C在AC上，A′C与AB相交于点D，则C′D=3．

Answer 1

分析 根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ABC中得到BC=$\frac{1}{2}$AC=6，利用互余得到∠C=60°，再根据旋转的性质得BC′=BC=6，∠BC′A=∠C=60°，则可判断△BCC′为等边三角形，所以∠CBC′=60°，于是有∠ABC=30°，∠BDC′=90°，然后在Rt△BDC′中根据含30度的直角三角形三边的关系易得C′D的长．

解答 解：在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×12=6，∠C=60°，
∵△ABC绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，
∴BC′=BC=6，∠BC′A=∠C=60°，
∴△BCC′为等边三角形，
∴∠CBC′=60°，
∴∠ABC=90°-60°=30°，
∴∠BDC′=90°，
在Rt△BDC′中，∵∠DBC′=30°，
∴C′D=$\frac{1}{2}$BC′=$\frac{1}{2}$×6=3．
故答案为3．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．