Question

16．如图，若将四根木条钉成的矩形ABCD变形为?FBCE的形状，EF交CD于点H，已知AB=20cm，BC=30cm，当矩形ABCD的面积是?FBCE面积的2倍时，四边形FBCH的面积为（300-50$\sqrt{3}$）cm²．

Answer 1

分析 根据矩形ABCD的面积是?FBCE面积的2倍，得出CH=$\frac{1}{2}$AB，再由三角函数即可求出∠E的度数，解直角三角函数求得EH的值，进而求得FH的值，然后根据梯形的面积公式即可求得．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，
∵?FBCE中，EF∥BC，
∴DC⊥EF，
根据题意得：AB=CD=BF=CE，AD=BC=EF，?FBCE面积=BC•CH=$\frac{1}{2}$BC•AB，
∴CH=$\frac{1}{2}$AB，
∵CE=BF=AB，
∴CH=$\frac{1}{2}$CE，
∴sinE=$\frac{CH}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠E=30°，
∴EH=cos30°•CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×20=10$\sqrt{3}$cm，
∴FH=EF-HE=30-10$\sqrt{3}$，
∴四边形FBCH的面积=$\frac{1}{2}$（FH+BC）•CH=$\frac{1}{2}$（30-10$\sqrt{3}$+30）•10=（300-50$\sqrt{3}$）cm²，
故答案为（300-50$\sqrt{3}$）cm²．

点评 本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及三角函数；熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．