Question

5．直线AB：y=-x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为 （3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC=3：1．
（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；
（2）在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD并请直接写出点D的坐标；
（3）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标代入y=-x+b可计算出b=3，即可得到C点坐标，进而得出直线BC的解析式；
（2）点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等得出点D的坐标；
（3）设PB=PC=x，根据勾股定理解答即可．

解答 解：（1）把A （3，0）代入y=-x+b，得 b=3，
∴B（0，3），
∴OB=3，
∵OB：OC=3：1，
∴OC=1，
∵点C在x轴负半轴上，
∴C（-1，0），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（0，3）及C（-1，0）代入，得$\left\{\begin{array}{l}n=3\\-m+n=0\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}m=3\\ n=3\end{array}\right.$．
∴直线BC的解析式为：y=3x+3；
（2）如图，

进而得出D₁（4，3），D₂（3，4）；
（3）由题意，PB=PC，
设PB=PC=x，则OP=3-x，
在Rt△POC中，∠POC=90°，
∴OP²+OC²=PC²，
∴（3-x）²+1²=x²，
解得，x=$\frac{5}{3}$，
∴OP=3-x=$\frac{4}{3}$，
∴点P的坐标（0，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查了一次函数的综合题，关键是利用两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式解答．