Question

如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD

（1）求证：AE平分∠DAC；

（2）若AB=3，∠ABE=60°，

①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。

Answer 1

1）证明：∵CD切⊙O于E，∴∠3=∠4

∵AB是直径，∴∠AEB=90°，

又∵AD⊥CD，∴∠D=90°，

∴∠1+∠3=90°=∠2+∠4， 而∠3=∠4，∴∠1=∠2，即AE平分∠DAC；

（2）①Rt△ABE中，AE=AB•sin∠4=3×sin60°=，

Rt△AED中，AD=AE•sin∠3=×sin60°=；

②连结OE，则有∠AOE=2∠4=120°，∴，

Rt△ABE中，∠2=90°-∠4=30°，

作EH⊥AB于点H，则EH=AE•sin30°=，

∴，

∴。