Question

12．如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AE、AD分别是∠A的平分线和BC边上的高．求证：∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

Answer 1

分析 根据三角形内角和定理以及AD是BC边上的高，求得∠BAD=90°-∠B，再根据AE平分∠BAC，求得∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C，最后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD即可求解．

解答 证明：∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD=90°-∠B．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C．
∵∠DAE=∠BAE-∠BAD，
∴∠DAE=（90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C）-（90°-∠B）=$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

点评 本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理：三角形内角和是180°．