Question

如图，直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=

6

，CD=2

6

，过A、B、D三点的⊙O分别交BC，CD于点E、M，且CE=2，下列结论：①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O的直径为2

10

；④AE=

30

．其中正确的结论是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

Answer 1

分析：连接BD，BM，AM，EM，DE，由90度角所对的弦为直径，得到BD为圆的直径，再利用直径所对的圆周角为直角，得到∠BMD为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到ABMD为矩形，利用矩形的对边相等得到AB=DM，而DC=2AB，等量代换得到CD=2DM，可得出M为DC的中点，即DM=CM，故选项①正确；由AB与MC平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得到四边形AMCB为平行四边形，可得出AM=BC，而BD=AM，等量代换得到BC=BD，由BD为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到三角形DEC为直角三角形，由DC与EC的长，利用勾股定理求出DE的长，设BE=x，则BD=BC=BE+EC=x+2，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BC的长，即为BD的长，确定出圆的直径，即可对于选项③作出判断；在直角三角形DEC中，由M为CD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到DM与EM相等，都等于DC的一半，利用等弦所对的劣弧相等，得到弧DM=弧EM，同时由AB=DM，得到弧AB=弧DM，等量代换得到弧AB=弧EM，故选项②正确；在直角三角形AEM中，由AM与ME的长，利用勾股定理求出AE的长，即可对于选项④作出判断．

解答：解：连接BD，BM，AM，EM，DE，
∵∠BAD=90°，
∴BD为圆的直径，
∴∠BMD=90°，
∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，
∴四边形ABMD矩形，
∴AB=DM，
又∵CD=2AB，
∴CD=2DM，即DM=MC；
故选项①正确；
∵AB∥MC，AB=MC，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∴AM=BC，又BD=AM，
∴BD=BC，
∵BD是直径，
∴∠BED=90°，即∠DEC=90°，
又EC=2，DC=2

6

，
根据勾股定理得：DE=

DC2-EC2

=2

5

，
设BE=x，BD=BC=BE+EC=x+2，
在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BE²+DE²=BD²，即x²+20=（x+2）²，
解得：x=4，
∴BD=6，故选项③错误；
在Rt△DEC中，M是DC中点，
∴EM=DM=

1

2

CD=

6

，
∴弧EM=弧DM，
又∵AB=DM，
∴弧AB=弧DM，
∴弧AB=弧EM，
故选项②正确；
在Rt△AEM中，AM=6，EM=

6

，
根据勾股定理得：AE=

AM2-EM2

=

30

；
故选项④正确；
则正确的选项为：①②④．
故选B

点评：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，圆心角、弦及弧之间的关系，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，矩形的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，利用了方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．