Question

9．一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象相交于A（-1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，4）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$可得m的值，即确定反比例函数的解析式；再把B（2，n）代入反比例函数的解析式得到n的值；然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先由BC⊥y轴，垂足为C以及B点坐标确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，进一步求出点E的坐标，然后计算得出△AED的面积S．

解答 解：（1）把A（-1，4）代入反比例函数y=$\frac{m}{x}$得，m=-1×4=-4，
所以反比例函数的解析式为y=-$\frac{4}{x}$；
把B（2，n）代入y=-$\frac{4}{x}$得，2n=-4，
解得n=-2，
所以B点坐标为（2，-2），
把A（-1，4）和B（2，-2）代入一次函数y=kx+b得，
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{2k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以一次函数的解析式为y=-2x+2；

（2）∵BC⊥y轴，垂足为C，B（2，-2），
∴C点坐标为（0，-2）．
设直线AC的解析式为y=px+q，
∵A（-1，4），C（0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-p+q=4}\\{q=-2}\end{array}\right.$，
解$\left\{\begin{array}{l}{p=-6}\\{q=-2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-6x-2，
当y=0时，-6x-2=0，解答x=-$\frac{1}{3}$，
∴E点坐标为（-$\frac{1}{3}$，0），
∵直线AB的解析式为y=-2x+2，
∴直线AB与x轴交点D的坐标为（1，0），
∴DE=1-（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{3}$，
∴△AED的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×4=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，正确求出函数的解析式是解题的关键．