Question

11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O、AC⊥AB、∠ABC=30°，过点A作AE⊥BC于点E，交BD于点F，则$\frac{AF}{AO}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 由直角三角形的性质和勾股定理得出AB=2AE，BE=$\sqrt{3}$AE，AC=2CE，AE=$\sqrt{3}$CE，设CE=a，则$\sqrt{3}$a，AB=2$\sqrt{3}a$，BE=3a，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC=4a，AO=$\frac{1}{2}$AC=a，证明ADF∽△EBF，得出$\frac{AF}{EF}=\frac{AD}{BE}$=$\frac{4}{3}$，求出AF=$\frac{4}{7}$AE=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$a，即可得出结论．

解答 解：∵AE⊥BC，∠ABC=30°，
∴∠AEB=∠AEC=90°，AB=2AE，∠BAE=90°-30°=60°，
∴BE=$\sqrt{3}$AE，
∵AC⊥AB，
∴∠CAE=30°，
∴AC=2CE，AE=$\sqrt{3}$CE，
设CE=a，则$\sqrt{3}$a，AB=2$\sqrt{3}a$，BE=3a，
∴BC=4a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=4a，AO=$\frac{1}{2}$AC=a，
∴△ADF∽△EBF，∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AD}{BE}$=$\frac{4}{3}$，
∴AF=$\frac{4}{7}$AE=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$a，
∴$\frac{AF}{AO}$=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{7}a}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．