Question

4．已知：三角形ABC中，点F，G分别在线段AB，BC上，FG⊥BC于G，点P在直线AB上运动，PD⊥BC交直线BC于D，过点D作DE∥PA，交直线AC于E．
（1）如图1，当点P在线段AB的延长线上时，求证：∠BFG+∠PDE=180°；
（2）如图2，当点P在线段BA的延长线上时，将图补充完整，点H在线段AC上，连接GH，若∠FGH+∠PDE=180°，求证：∠GHC=∠DEC；
（3）在（2）的条件下，延长ED至点S，延长BD至点T，若∠PDS：∠SDT=3：2，$\frac{1}{2}$∠GFA+∠BAC=129°，则∠GHC的度数是66°（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）∠根据平行线的性质得到DE∥PA，于是得到∠FBG=∠EDG即可得到结论；
（2）根据平行线的判定和性质即可得到结论；∠GHC=∠DEC；
（3）根据已知条件得到∠PDS=54°，∠SDT=36°，求得∠CDE=36°，根据平行线的性质得到DE∥PA，根据平行线的性质得到∠BFG=∠BPD=54°，即可得到结论．

解答 解：（1）∠BFG=90°-∠FBG，
∠PDE=90°+∠EDG，
又DE∥PA，
∴∠FBG=∠EDG
∴∠BFG+∠PDE=180°；
（2）如图，∵∠FGH=90°-∠HGD，
∠PDE=90°+∠EDG，
又∠FGH+∠PDE=180°，
∴∠HGD=∠EDG，
HG∥DE，
∴∠GHC=∠DEC；
（3）∵∠PDS：∠SDT=3：2，PD⊥BC，
∴∠PDS=54°，∠SDT=36°，
∴∠CDE=36°，
∴∠PDE=126°，
∵DE∥PA，
∴∠BPD=∠PDS=54°，∠DEC=∠BAC，
∵FG⊥BC，PD⊥BC，
∴FG∥PD，
∴∠BFG=∠BPD=54°，
∴$\frac{1}{2}$∠GFA=63°，
∵$\frac{1}{2}$∠GFA+∠BAC=129°，
∴∠BAC=66°，∠DEC=66°，
由（2）知∠GHC=∠DEC，
∴∠GHC=66°，
故答案为：66°．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，互为余角、补角的性质，解题的关键是能够利用这些知识进行角的计算．