Question

如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB=3，AC=4．求DE的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用已知条件易证AB∥DE，进而证明△DCE∽△BCA；
（2）首先证明AE=DE，设DE=x，所以CE=AC-AE=AC-DE=4-x，利用（1）中相似三角形的对应边成比例即可求出x的值，即DE的长．

解答：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DA，
∵∠EAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴AB∥DE，
∴△DCE∽△BCA；
（2）解：∵∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
设DE=x，
∴CE=AC-AE=AC-DE=4-x，
∵△DCE∽△BCA，
∴DE：AB=CE：AC，
即x：3=（4-x）：4，
解得：x=

12

7

，
∴DE的长是

12

7

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大．