Question

8．如图，点C是AB为直径的半圆上一点（O为圆心），以AC、BC为边向上作正方形ACDE和正方形BCFG，点P是DF的中点．若OP=6$\sqrt{2}$，AB=10，则△ABC的面积=（　　）

• A． 10
• B． 11
• C． 12
• D． 13

Answer 1

分析 连接AD、BF，设AC=a，BC=b，首先证明AD+BF=2OP，得a+b=12，再根据a²+b²=100求出$\frac{1}{2}$ab即可解决问题．

解答 解：如图，连接AD、BF．设AC=a，BC=b，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵四边形ACDE、四边形BCFG都是正方形，
∴∠ACD=∠BCF=∠ACB=90°，
∴A、C、F共线，B、C、D共线，
∴∠DAC=∠BFC=45°，
∴AD∥BF，
∵DP=PF，AO=OB，
∴AD+BF=2PO，
∴$\sqrt{2}$a+$\sqrt{2}$b=12$\sqrt{2}$，
∴a+b=12，
又∵a²+b²=100，
∴a²+2ab+b²=144，
∴2ab=44，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=11，
故选B．

点评 本题考查正方形的性质、图象、中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，构造梯形，利用梯形中位线解决问题，属于中考常考题型．