Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，则阴影部分的面积等于（　　）

• A、1-

  π

  4

• B、

  π

  4

• C、1-

  π

  8

• D、

  π

  8

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：首先连接OD，OE，易得△BDF≌△EOF，继而可得S_阴影=S_扇形DOE，即可求得答案．

解答：解：连接OD，OE，
∵半圆O与△ABC相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，
∴四边形ADOE是正方形，△OBD和△OCE是等腰直角三角形，
∴OD=OE=AD=BD=AE=EC=1，
∴∠ABC=∠EOC=45°，
∴AB∥OE，
∴∠DBF=∠OEF，
在△BDF和△EOF中，

∠DBF=∠OEF ∠BFD=∠EFO BD=OE

，
∴△BDF≌△EOF（AAS），
∴S_阴影=S_扇形DOE=

90

360

×π×1²=

π

4

．
故选B．

点评：此题考查了扇形的面积，切线的性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．