Question

15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，延长CA到D使AD=AB，
（1）求∠D的度数；
（2）求tan∠D的值；
（3）计算tan∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）先求得∠BAC=45°，然后由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可知∠D=$\frac{1}{2}∠BAC$；
（2）由特殊锐角三角函数可知：AB=$\sqrt{2}BC$，然后可知DC=AC+AD=BC+$\sqrt{2}$CB，最后根据正切函数的定义求解即可；
（3）由锐角三角函数的定义求解即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°．
∵AD=AB，
∴∠BDA=∠DBA．
由三角形的外角的性质可知：∠BDA+∠DBA=45°．
∴2∠D=45°．
∴∠D=22.5°．
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=45°，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴AB=$\sqrt{2}$CB．
∵AD=AB，
∴AD=$\sqrt{2}$BC．
∴tan∠D=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{BC}{（1+\sqrt{2}）CB}$=$\sqrt{2}-1$．
（3）tan∠DBC=$\frac{DC}{BC}$=1+$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是解直角三角形、特殊锐角三角函数值、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、熟练掌握相关知识是解题的关键．