Question

【题目】如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点、和点，动点从原点开始沿方向以每秒个单位长度移动，动点从点开始沿方向以每秒个单位长度移动，动点、同时出发，当动点到达原点时，点、停止运动．

直接写出抛物线的解析式：________；

求的面积与点运动时间的函数解析式；当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？

当的面积最大时，在抛物线上是否存在点（点除外），使的面积等于的最大面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）当时，；（3）当的面积最大时，在抛物线上存在点（点除外），使的面积等于的最大面积，点的坐标为：或或

【解析】

（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=-x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=-x2+3x+8；

（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8-t，然后令y=0，求出点E的坐标为（-2，0），进而可得OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=-t2+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=；

（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得CD=，从而确定C（0，5），D（3，0）然后根据待定系数法求出直线CD的解析式为：y=-x+5，然后过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离为，然后过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=，然后求出N的坐标，然后过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标．

(1) 将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=-x2+bx+c，

得：，

解得：b=3，c=8，

∴抛物线的解析式为：y=-x2+3x+8，

故答案为：y=-x2+3x+8；

∵点、，

∴，，

令，得：，

解得：，，

∵点在轴的负半轴上，

∴点，

∴，

根据题意得：当点运动秒时，，，

∴，

∴，

∴，

即，

∴当时，；

由知：当时，，

∴当时，，，

∴，，

由勾股定理得：，

设直线的解析式为：，

将，，代入上式得：

，，

∴直线的解析式为：，

过点作，交抛物线与点，如图，

设直线的解析式为：，

将代入得：，

∴直线的解析式为：，

将，与联立成方程组得：

，

解得：，，

∴；

过点作，垂足为，

∵当时，，

∴，

过点作，垂足为，且使，过点作轴，垂足为，如图，

可得，

∴，

即：，

解得：，

∴，

由勾股定理得：，

∴，

过点作，与抛物线交与点，如图，

设直线的解析式为：，

将，代入上式得：，

∴直线的解析式为：，

将，与联立成方程组得：

，

解得：，，

∴或，

综上所述：当的面积最大时，在抛物线上存在点（点除外），使的面积等于的最大面积，点的坐标为：或或．