Question

如图，直线y=

1

2

x+2分别交x，y轴于A，C，点P是该直线与反比例函数在第一象限内的一个交点，PB⊥x轴交于点B，且S_△ABP=9．
（1）求证：△AOC∽△ABP；
（2）求点P的坐标；
（3）设点R与点P在同一反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于点T，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由一对公共角相等，一对直角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）先求点A、C的坐标，根据点A、C分别在x、y轴上，设出A（a，0），C（0，c）代入直线的解析式可知；由△AOC∽△ABP，利用线段比求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标即可；
（3）把P坐标代入求出反比例函数，设R点坐标为（x，y），根据△BRT与△AOC相似分两种情况，利用线段比联立方程组求出x，y的值，即可确定出R坐标．

解答：解：（1）∵∠CAO=∠PAB，∠AOC=∠ABP=90°，
∴△AOC∽△ABP；
（2）设A（a，0），C（0，c）由题意得

1 2 a+2=0 c=2

，
解得：

a=-4 c=2

，
∴A（-4，0），C（0，2），即AO=4，OC=2，
又∵S_△ABP=9，
∴AB•BP=18，
又∵PB⊥x轴，
∴OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴

AO

AB

=

OC

BP

，即

4

AB

=

2

BP

，
∴2BP=AB，
∴2BP²=18，
∴BP²=9，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P点坐标为（2，3）；
（3）设反比例函数的解析式为y=

k

x

，
由题意得

k

2

=3，解得k=6，
∴反比例函数的解析式为y=

6

x

，
设R点的坐标为（x，y），
∵P点坐标为（2，3），
∴反比例函数解析式为y=

6

x

，
当△BTR∽△AOC时，
∴

AO

OC

=

BT

RT

，即

4

2

=

x-2

y

，
则有

y= 6 x 2y=x-2

，解得：

x= 13 +1 y= 13 -1 2

，
此时R的坐标为（

13

+1，

13 -1

2

）；
当△BRT∽△COA时，
∴

AO

OC

=

RT

BT

，即

4

2

=

y

x-2

，
解得：x₁=3，x₂=-1（不符合题意应舍去），
此时R坐标为（3，2），
综上，R的坐标为（

13

+1，

13 -1

2

）或（3，2）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的交点，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．