Question

16．已知二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a²+ab+ac＜0，下列说法：
①b²-4ac＜0；
②ab+ac＜0；
③方程ax²+bx+c=0有两个不同根x₁、x₂，且（x₁-1）（1-x₂）＞0；
④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，
其中正确的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据题意把a的符号分成两种情况，再由a²+ab+ac＜0判断出a+b+c的符号，即可得出当x=1时，y的符号，从而得出b+c的符号，再得出方程ax²+bx+c=0有一个根大于1，一个根小于1，即可得出（x₁-1）（x₂-1）＜0；b²-4ac＞0；抛物线和坐标轴有二个交点．

解答 解：当a＞0时，
∵a²+ab+ac＜0，
∴a+b+c＜0，
∴b+c＜0，
如图1，
∴b²-4ac＞0，故①错误；
a（b+c）＜0，故②正确；
∴方程ax²+bx+c=0有两个不同根x₁、x₂，且x₁＜1，x₂＞1，
∴（x₁-1）（x₂-1）＜0，
即（x₁-1）（1-x₂）＞0，故③正确；
∴二次函数的图象与坐标轴有二个不同交点，故④错误；
故选B．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握分类讨论思想是解题的关键．