Question

14．观察等式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，将以上三个等式两边分别相加得
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
（1）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
（2）直接写出下式的计算结果：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{2015}{2016}$．
（3）探究并计算：
$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2015×2017}$=$\frac{1008}{2017}$．

Answer 1

分析 （1）根据两个连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差即可得；
（2）利用（1）中结论将各分数分解开，再进一步计算可得；
（3）根据$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）计算可得．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故答案为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$
=$\frac{2015}{2016}$，
故答案为：$\frac{2015}{2016}$；

（3）原式=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2017}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2017}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2017}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2016}{2017}$
=$\frac{1008}{2017}$，
故答案为：$\frac{1008}{2017}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，要求学生首先分析题意，找到规律，依据规律解答即可得，突出考查裂项相消的运用．