Question

1．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，
（1）正方形AMNP和正方形BRQP的面积之和的最大值是26；
（2）E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为2．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的面积公式得到正方形AMNP和正方形BRQP的面积之和，再配方可求它们的最大值；
（2）设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，判断出G的运行轨迹为△CSD的中位线，从而求出点G移动的路径长．

解答 解：（1）设正方形AMNP的边长为x，则正方形BRQP的边长为（6-x），依题意有
x²+（6-x）²=2x²-12x+36=2（x-3）²+18，
∵1≤x≤6-1=5，
∴正方形AMNP和正方形BRQP的面积之和的最大值是2×（1-3）²+18=26；

（2）设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，
∴G为PS的中点，即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，
∴G的运行轨迹为△CSD的中位线，
∵CD=AB-AC-BD=6-1-1=4，
∴点G移动的路径长为$\frac{1}{2}$×4=2．
故答案为：26；2．

点评 本题考查了正方形的性质和轨迹，判断出G的运行轨迹为△CSD的中位线是解题的关键．