Question

13．如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．
①求证：CE∥BF；  
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：$\sqrt{5}$，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．

Answer 1

分析 ①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=$\frac{1}{2}$∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；
②证明△ADE∽△CBE，得出$\frac{AD}{CB}=\frac{3}{\sqrt{5}}$，证明△CBE∽△CDB，得出$\frac{BD}{CB}=\frac{BE}{CE}$，求出CB=2$\sqrt{5}$，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OC⊥AB，AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=4，由勾股定理求出CG=$\sqrt{C{B}^{2}-B{G}^{2}}$=2，即可得出△BCD的面积．

解答 ①证明：连接AC，BE，作直线OC交AB于G，如图所示：
∵BE=EF，
∴∠F=∠EBF；
∵∠AEB=∠EBF+∠F，
∴∠F=$\frac{1}{2}$∠AEB，
∵C是$\widehat{AB}$的中点，∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴∠AEC=∠BEC，
∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，
∴∠AEC=$\frac{1}{2}$∠AEB，
∴∠AEC=∠F，
∴CE∥BF；
②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴$\frac{AD}{CB}=\frac{AE}{CE}$，即$\frac{AD}{CB}=\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，
∴△CBE∽△CDB，
∴$\frac{BD}{CB}=\frac{BE}{CE}$，即$\frac{2}{CB}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴CB=2$\sqrt{5}$，
∴AD=6，
∴AB=8，
∵点C为劣弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴CG=$\sqrt{C{B}^{2}-B{G}^{2}}$=2，
∴△BCD的面积=$\frac{1}{2}$BD•CG=$\frac{1}{2}$×2×2=2．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理，证明三角形相似是解决问题的关键．