(1)如图1.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A.若双曲线y=$\frac{k}{x}$与△ABC有公共点.则k的取值范围是4≤k≤16,(2)把图1中的△ABC沿直线AB翻折后得到△ABC1.若双曲线y=$\frac{m}{x}$与△ABC1有公共点.求m的取值范围,小明借助一元二次方程根的判断式圆满地解决了这个问题.小芳借助二次函数模型也圆满地解决了这个问题� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．（1）如图1，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，4）、B（4，1）、C（4，4），若双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与△ABC有公共点，则k的取值范围是4≤k≤16；
（2）把图1中的△ABC沿直线AB翻折后得到△ABC₁，若双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）与△ABC₁有公共点，求m的取值范围；
小明借助一元二次方程根的判断式圆满地解决了这个问题，小芳借助二次函数模型也圆满地解决了这个问题．请你先在图2中画出△ABC₁，再写出自己的解答过程．
（3）如图3，已知点A为（1，2），点B为（4，1），若双曲线y=$\frac{n}{x}$（x＞0）与线段AB有公共点，则n的取值范围是2≤n≤$\frac{49}{12}$．

分析（1）分别求得双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与边AC，边BC有公共点的k的取值范围，然后求得直线AB的解析式，利用一元二次方程根的判别式求得与边AB有公共点的k的取值范围，则可求得答案；
（2）首先求得点C的坐标，即可得双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）与边AC，边BC有公共点的k的取值范围，由（1）可求得与边AB的取值范围，继而求得答案；
（3）首先求得线段AB的解析式以及自变量的取值范围，再利用一元二次方程根的判别式求得答案．

解答解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∵A（1，4）、B（4，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{4k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-x+5，
∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，4）、B（4，1）、C（4，4），
∴若双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与边AC有公共点，则4≤k≤16，
若双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与边BC有公共点，则4≤k≤16，
若双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与边AB有公共点，则$\frac{k}{x}$=-x+5（1≤x≤4），
即x²-5x+k=0，
∴△=25-4k≥0，
解得：k≤$\frac{25}{4}$，
∴若双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与边AB有公共点，则4≤k≤$\frac{25}{4}$；
综上可得：若双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与△ABC有公共点，则k的取值范围是：4≤k≤16；
故答案为：4≤k≤16；

（2）如图，则点C₁（1，1），
由（1）得：若双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）与边AB有公共点，则4≤m≤$\frac{25}{4}$，
∵若双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）与边AC有公共点，则1≤k≤4，
若双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）与边BC有公共点，则1≤k≤4，
综上可得：若双曲线y=$\frac{m}{x}$（x＞0）与△ABC有公共点，则k的取值范围是：1≤k≤$\frac{25}{4}$；

（3）如图3，设直线AB的解析式为：y=mx+n，
∵点A为（1，2），点B为（4，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2}\\{4m+n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{7}{3}$（1≤x≤4），
若双曲线y=$\frac{n}{x}$（x＞0）与线段AB有公共点，
则$\frac{n}{x}$=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{7}{3}$，
整理得：x²-7x+3n=0，
∴△=49-12n≥0，
∴n≤$\frac{49}{12}$，
∵1≤x≤4，
∴n≥2，
∴若双曲线y=$\frac{n}{x}$（x＞0）与线段AB有公共点，则n的取值范围是：2≤n≤$\frac{49}{12}$．
故答案为：2≤n≤$\frac{49}{12}$．

点评此题属于反比例函数综合题，考查了直线与反比例函数的交点问题以及一元二次方程的根的判别式．注意能借助一元二次方程根的判断式求解是关键．

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