Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（

1

2

，1），下列结论：①abc＜0；②b²-4ac＞0；③a+b+c＜0；④a+b=0；⑤4ac•b²=4a．其中正确的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=

1

2

，得到b=-a＞0，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点的各数对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）右边，则x=1时，函数值为正数，于是可对③进行判断；利用抛物线的对称轴得到b=-a，则可对④进行判断；根据抛物线的顶点坐标公式可对⑤进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于（0，c），
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=

1

2

，
∴b=-a＞0，
∴abc＜0，所以①其中；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=

1

2

，抛物线与x轴的一个交点在（0，0）的左边，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）右边，
∴x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以③错误；
∵b=-a，
∴a+b=0，所以④正确；
∵抛物线的顶点坐标为（

1

2

，1），
∴

4ac-b2

4a

=1，
∴4ac-b²=4a，所以⑤正确．
故选D．

点评：本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．当△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．