Question

17．如图，在Rt△ABC的直角边AB，斜边AC上分别找点E，F，使AE=AF．将△AFE绕点A顺时针方向旋转，EF的中点O恰好落在AB的中点，延长AF交BC于D，连接BE．
（1）四边形BDFE是什么特殊四边形，说明理由；
（2）是否存在Rt△ABC，使得图中四边形BDFE为菱形？若不存在，说明理由；若存在，求出此时Rt△ABC的面积与△AFE面积的比．

Answer 1

分析 （1）由于AE=AF，且O是EF中点，根据等腰三角形三线合一的性质知：AO⊥EF，即FO∥BD，从而证得OF是△ABD的中位线，由此可得BD=2OF=EF，那么BD、EF平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断出四边形BDFE的形状．
（2）当四边形BDFE是菱形时，BD=FD，即AF=2BD，由此可得∠FAO=30°，∠BAC=∠EAF=60°；易证得△FOA∽△ABC，首先求出FO、OA即FO、AB的比例关系，即可得到△AFO、△ABC的面积比，进而可得到△AEF、△ABC的面积比．

解答 解：（1）四边形BDFE是平行四边形；理由如下：
∵AE=AF，且O是EF中点，
∴AO⊥EF，即EF∥BD；
∵O是AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，即BD=2OF=EF，
∴BD、EF平行且相等，
∴四边形BDFE是平行四边形．
（2）若四边形BDFE是菱形，则DF=BD，即AD=2BD，
∴∠BAD=30°，∠BAC=∠EAF=60°；
∵∠FAO=∠C=30°，∠FOA=∠ABC=90°，
∴△FOA∽△ABC，
在Rt△AOF中，∠FAO=30°，则AO=$\sqrt{3}$OF，即AB=2$\sqrt{3}$OF；
∴S_△ABC=（2$\sqrt{3}$）²S_△FOC=12S_△FOC，
又∵S_△FAE=2S_△FOC，
∴S_△ABC=6S_△FAE．
∴S_△ABC：S_△FAE=6：1．

点评 此题主要考查的是旋转的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度中等．