Question

如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2

2

），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（　　）

• A、（0，

  2

  ）
• B、（0，

  2

  2

  ）
• C、（0，

  2

  3

  ）
• D、（0，

  2

  4

  ）

Answer 1

考点：勾股定理,根的判别式,坐标与图形性质

专题：压轴题

分析：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标．

解答：解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，
设D坐标为（0，y），则AD=2

2

-y，CD=

y2+12

=

y2+1

，
∴设t=

2 2 -y

3

+

y2+1

，
等式变形为：t+

1

3

y-

2 2

3

=

y2+1

，则t的最小值时考虑y的取值即可，
∴t²+（

2

3

y-

4 2

3

）t+（

1

3

y-

2 2

3

）²=y²+1，
∴

8

9

y²+（

4 2

9

-

2

3

t）y-t²+

4 2

3

t+1=0，
△=（

4 2

9

-

2

3

t）²-4×

8

9

（-t²+

4 2

3

t+1）≥0，
∴t的最小值为

3

，
∴y=

2

4

，
∴点D的坐标为（0，

2

4

），
故选D．

点评：本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．