Question

1．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与点A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F、D．
（1）问题发现：直接写出∠NDE=90度；
（2）拓展探究：试判断，如图②当∠EAC为钝角时，其他条件不变，∠NDE的大小有无变化？请给出证明．
（3）如图③，若∠EAC=15°，BD=$\sqrt{2}$，直线CM与AB交于点G，其他条件不变，请直接写出AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意证明△MAC≌△NBC即可；
（2）∠NDE的大小不变，证明△MAC≌△NBC，得到∠N=∠AMC，又∠MFD=∠NFC，所以∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°．
（3）先证明△MAC≌△NBC，所以∠NBC=∠MAC=15°，再证明∠BDH=∠ACH=90°，∠ABD=60°，求出AB=2$\sqrt{2}$，根据AC=AB•cos45°，即可解答．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠ACM=∠BCN，
在△MAC和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACM=∠BCN}\\{MC=NC}\end{array}\right.$，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠NBC=∠MAC=90°，
又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，
∴∠NDE=90°．
故答案为：90．
（2）∠NDE的大小不变，
在△MAC和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACM=∠BCN}\\{MC=NC}\end{array}\right.$，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠N=∠AMC，
又∵∠MFD=∠NFC，
∴∠MDF=∠FCN=90°，
即∠NDE=90°．
（3）AC=2，
在△MAC和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACM=∠BCN}\\{MC=NC}\end{array}\right.$，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠NBC=∠MAC=15°，
如图③，设BC与AD交于点H，

又∵∠AHC=∠BHD，
∴∠BDH=∠ACH=90°，
∴在Rt△ABD中，∠ABD=∠ABC+∠NBC=45°+15°=60°
∵BD=$\sqrt{2}$，
∴AB=2$\sqrt{2}$，
∴AC=AB•cos45°=2．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，三角形的内角和，解决本题的关键是证明△MAC≌△NBC．