Question

13．如图，已知锐角△ABC中，边BC长为90，高AD长为60，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC上，EF交AD于点K．
（1）求$\frac{AK}{EF}$的值；
（2）设EH=x，矩形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式，并求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形性质：相似比等于对应边上的高的比，即可解决问题．
（2）利用（1）的结论，构建二次函数，利用二次函数的最值问题即可解决．

解答 解：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC
∵AD⊥BC，
∴AD⊥EF，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，∵AD=60，BC=90，
∴$\frac{AK}{EF}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{60}{90}$=$\frac{2}{3}$．
（2）由（1）可知$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，
∴EF=$\frac{90•（60-x）}{60}$=90-$\frac{3}{2}$x，
∴y=-$\frac{3}{2}$x²+90x=-$\frac{3}{2}$（x-30）²+1350．
∵a=-$\frac{3}{2}$＜O，
∴x=30时，y最大值=1350．

点评 本题考查相似三角形的性质、矩形的性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的对应边的比等于对应边上的高的比，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．