Question

11．如图，?ABCD中，O为BC边上一点，OD平分∠ADC，以O为圆心，OC为半径画圆，交OD于点E，若AB=6，?ABCD的面积是42$\sqrt{3}$，$\widehat{EC}$=π，请判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 首先利用弧长公式求得圆心角∠COE的度数，进一步得到∠B=60°，作AM⊥BC于M，解直角三角形得到AM，根据三角形的面积公式即可求得BC的长，得到OB的长，作ON⊥AB于N，解直角三角形求得ON的长，然后与半径的长度比较大小即可．

解答 解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=6，AD∥BC，∠B=∠ADC，
∴∠COD=∠ADO，
∵∠ADO=∠CDO，
∴∠COD=∠CDO，
∴OC=DC=6，
∴⊙O的半径为6，
设∠EOC为n°，则有π=$\frac{6nπ}{180}$．
n=30°．
∴∠ADC=60°，
∴∠B=60°，
作AM⊥BC于M，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
∵?ABCD的面积是42$\sqrt{3}$，
∴BC•AM=42$\sqrt{3}$，
∴BC=14，
∴OB=BC-OC=14-6=8，
作ON⊥AB于N，
∴ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=4$\sqrt{3}$＞6，
∴直线AB与⊙O相离．

点评 本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．